Question

如图,三棱锥中,侧面底面,

,且,.

(Ⅰ)求证:平面;

(Ⅱ)若为侧棱的中点,求直线与底面所成角的正弦值.

 

Answer 1

【答案】

（1）见解析；（2）

【解析】第一问中利用线面垂直判定定理，可知得证。

由,知,

又,所以,

又,,所以所以,即,

又平面平面,平面平面=,平面,

平面,所以, 

又,所以平面

第二问中，取AC中点O,连接PO、OB,并取OB中点H,连接AH、EH,

因为PA=PC,所以PO⊥AC,同(Ⅰ)易证平面,

又,所以平面,  ……………………8分

则为直线AE与底面所成角,

且

解： (Ⅰ) 证明:由,知,

又,所以,…………2分

又,,所以所以,即,…3分

  又平面平面,平面平面=,平面,

平面,所以,                                 …………5分

又,所以平面         ……………………………………6分

(Ⅱ)如图,取AC中点O,连接PO、OB,并取OB中点H,连接AH、EH,

因为PA=PC,所以PO⊥AC,同(Ⅰ)易证平面,

又,所以平面,  ……………………8分

则为直线AE与底面所成角,

且………………………………………10分

又,也所以有,

由(Ⅰ)已证平面,所以,即,

故,………………………………………………………11分

于是

所以直线AE与底面所成角的正弦值为.…………………………12分