题目内容
【题目】已知椭圆
(
)的右焦点为F，左顶点为A，离心率
，且经过圆O:
的圆心.过点F作不与坐标轴重合的直线
和该椭圆交于MN两点，且直线
分别与直线
交于PQ两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）证明:
为直角三角形.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
根据条件椭圆过点
，即
，由
以及
，可求椭圆方程.
（2）设
，
，根据点共线求出点
坐标，设直线的方程
，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式即可得到
，即证明结论成立.
(1)由题意知，圆O:
的圆心为
.∵椭圆
(
)过圆O:的圆心，
∴.又
，，∴
.∴所求椭圆的方程为.
（2）设，，可设直线l的方程为.
联立
，可得
.
∴
.根据AMP三点共线可得
.
∴
.同理可得
.∴PQ的坐标分别为
，
.
设直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，则
∴
. ∴
为直角三角形.
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