Question

已知椭圆，其相应于焦点F(2，0)的准线方程为x=4.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知过点F₁(-2,0)倾斜角为的直线交椭圆C于A，B两点.

求证：

（Ⅲ）过点F₁(-2,0)作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于点A、B和D、E，求的最小值.

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意得：

，

∴椭圆C的方程为。

（Ⅱ）方法一：

由（Ⅰ）知，是椭圆C的左焦点，离心率

设为椭圆的左准线，则，

作于，于，与轴交于点H（如图）

∵点A在椭圆上，

∴

∴

同理

∴。

方法二：

当时，记，则AB，

将其代入方程

得

设，则是此二次方程的两个根。

∴，

①

∵，代入①式得②

当时，仍满足②式

∴

（Ⅲ）设直线AB的倾斜角为，由于，由（Ⅱ）可得，

，

当或，取得最小值。