Question

已知函数f（x）=xlnx+1．
（1）求函数f（x）的极值点；
（2）若直线l过点（0，-1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的斜率．

Answer 1

分析：（1）求导函数，确定函数的单调性，即可求函数f（x）的极值点；
（2）设切点坐标为（a，b），则b=alna+1，切线的斜率为lna+1，利用直线l过点（0，-1），可得直线的斜率，从而可求出切点的坐标，即可求直线l的斜率．

解答：解：（1）求导函数，可得f′（x）=lnx+1，x＞0．…（2分）
由f′（x）=lnx+1＞0，可得x＞

1

e

；f′（x）=lnx+1＜0，可得0＜x＜

1

e

，
所以f（x）在（0，

1

e

）上单调递减，在（

1

e

，+∞）上单调递增．…（4分）
所以x=

1

e

是函数f（x）的极小值点，极大值点不存在．…（6分）
（2）设切点坐标为（a，b），
则b=alna+1，切线的斜率为lna+1，
又切线l过点（0，-1），所以

b+1

a

=lna+1 …（9分）
所以b+1=a（lna+1），
所以alna+1+1=a（lna+1），所以a=2，
所以直线l的斜率为1+ln2…（12分）

点评：本题主要考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查导数的几何意义，求出切线的斜率是关键，属于基础题．