Question

已知函数f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函数f（x）在[1，3]上的最小值；
（Ⅱ）若存在x∈[

1

e

，e]（e为自然对数的底数，且e=2.71828…）使不等式2f（x）≥-x²+ax-3成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若F（x）的导函数为f（x），试写出一个符合要求的F（x）（无需过程）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用导数符号确定函数f（x）在[1，3]上的单调性，然后可求出函数f（x）在区间[1，3]上的最小值；
（Ⅱ）欲存在x∈[

1

e

，e]使不等式2f（x）≥-x²+ax-3成立，只需a小于或等于2lnx+x+

3

x

的最大值，然后利用导数研究函数2lnx+x+

3

x

在[

1

e

，e]上的最大值即可求出实数a的取值范围；
（Ⅲ）欲使F（x）的导函数为f（x），先寻找以函数的导函数含xlnx因子的函数，然后再进行调整即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=xlnx，
∴f'（x）=lnx+1，
当x∈(0，

1

e

)时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈(

1

e

，+∞)时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．
∴函数f（x）在[1，3]上单调递增，
又∵f（1）=ln1=0，
∴函数f（x）在[1，3]上的最小值为0；
（Ⅱ）由题意知，2xlnx≥-x²+ax-3，则a≤2lnx+x+

3

x

．
若存在x∈[

1

e

，e]使不等式2f（x）≥-x²+ax-3成立，
只需a小于或等于2lnx+x+

3

x

的最大值．
设h(x)=2lnx+x+

3

x

(x＞0)，则h′(x)=

2

x

+1-

3

x2

=

(x+3)(x-1)

x2

．
当x∈[

1

e

，1)时，h'（x）＜0，h（x）单调递减；
当x∈（1，e]时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，
由h(

1

e

)=-2+

1

e

+3e，h(e)=2+e+

3

e

，h(

1

e

)-h(e)=2e-

2

e

-4＞0，
可得h(

1

e

)＞h(e)，
∴当x∈[

1

e

，e]时，h（x）的最大值为h(

1

e

)=-2+

1

e

+3e．
故a≤-2+

1

e

+3e．                            
（Ⅲ）F(x)=

x2

2

lnx-

x2

4

．

点评：本题考查了利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的增减，同时要注意单调区间是定义域的子集，即先要求出函数的定义域．同时考查了函数的恒成立问题，对于恒成立，一般选用参变量分离法、最值法进行解决．属于中档题．