Question

【题目】已知函数是奇函数.

（1）求实数的值；

（2）判断函数的单调性，并用定义证明；

（3）当时，求函数的值域.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）函数是单调递增函数；

（3）时，值域为:；时，值域为:.

【解析】

(1)由函数是奇函数,利用函数的定义域为时,奇函数在0处有定义，则即可解的的值;
(2)由题意利用函数的单调性的定义加以证明函数的单调性，;
(3)由题意先求出函数的值域，令函数为利用“对勾”函数的单调性求出定义域下的函数的值域.

（1）因为函数定义域为且函数是奇函数,，

(2) 函数是单调递增函数.证明如下：
由（1）得，因为定义域为, 所以任取，且,
，

,又，,所以，
是单调递增函数；
(3)由（2）得，是单调递增函数，所以时，，所以，

所以令,

任取，且，
则，

因为，所以，又因为，所以，

所以当时，，所以，所以在单调递减；

当时，时，，而时，，

即在单调递减，在单调递增；

所以当时， ，

即当时，函数的值域为:
当时，,
即当时，函数的值域为:.

综上可得：

时，函数的值域为:.

时，函数的值域为:；

故得解.