Question

已知函数f（x）=x²+alnx（a∈R）
（1）若函数f（x）在x=1处的切线垂直y轴，求a的值；
（2）若函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，求a的取值范围；
（3）讨论函数g（x）=f（x）-（a+2）x的单调性．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）在x=1处的切线垂直y轴，可得f'（1）=2+a=0，解得a即可．
（2）函数f（x）在（1，+∞）为增函数，?当x∈（1，+∞）时，f′(x)=2x+

a

x

≥0恒成立，通过分离参数法即可得出．
（3）利用导数的运算法则可得g′（x），通过对

a

2

与1的大小关系分类讨论即可得出单调性．

解答：解：（1）∵f（x）=x²+alnx，（x＞0），∴f′(x)=2x+

a

x

，
∵函数f（x）在x=1处的切线垂直y轴，
∴f'（1）=2+a=0，解得a=-2．
（2）函数f（x）在（1，+∞）为增函数，
∴当x∈（1，+∞）时，f′(x)=2x+

a

x

≥0恒成立，
分离参数得：a≥-2x²，从而有：a≥-2．
（3）g（x）=f（x）-（a+2）x=x²-（a+2）x+alnx，
g′(x)=2x-(a+2)+

a

x

=

2x2-(a+2)x+a

x

=

(x-1)(2x-a)

x

．
令g′(x)=0⇒x1=1，x2=

a

2

，
由于函数g（x）的定义域为（0，+∞），所以得到以下讨论：
（1）当

a

2

≤0，即a≤0时，函数g（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增；  
（2）当0＜

a

2

＜1，即0＜a＜2时，函数g（x）在(0，

a

2

)上递增，
在(

a

2

，1)上递减，在（1，+∞）上递增；                                
（3）当

a

2

=1，即a=2时，函数g（x）在（0，+∞）上递增；                 
（4）当

a

2

＞1，即a＞2时，函数g（x）在（0，1）上递增，在(1，

a

2

)上递减，在(

a

2

，+∞)上递增．

点评：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值分类讨论的思想方法、分离参数法等基础知识与基本技能，属于难题．