Question

已知：函数f（x）=x²-a|x|+2a-3．
（1）若a=2，作函数f（x）的图象，写出单调增区间；
（2）若函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围；
（3）设f（x）在区间[0，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式．

Answer 1

分析：（1）a=2时，f（x）=x²-2|x|+1，作出函数f（x）的图象，即可写出单调增区间；
（2）依题意，|

a

2

|≤1，从而可求得实数a的取值范围；
（3）依题意，对a分类讨论，利用二次函数的单调性即可求得g（a）的表达式．

解答：解：（1）当a=2，f（x）=x²-2|x|+1，作出函数f（x）的图象如下：

由图知，f（x）=x²-2|x|+1的单调递增区间为[-1，0]，[1，+∞）；
（2）∵f（x）=x²-a|x|+2a-3=(|x|-

a

2

)2-

a2

4

+2a-3，
要使函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，
必须|

a

2

|≤1，
解得-2≤a≤2．
∴实数a的取值范围为]-2，2]．
（3）∵f（x）=x²-a|x|+2a-3=(|x|-

a

2

)2-

a2

4

+2a-3，x∈[0，2]，
∴当|

a

2

|≤2，即-4≤a≤4时，
g（a）=f（x）_min=f（|

a

2

|）=

a2

4

-

1

2

a|a|+2a-3；
当|

a

2

|＞2，即a＞4或a＜-4时，f（x）=x²-a|x|+2a-3在区间[0，2]上是减函数，
g（a）=f（2）=1．
综上所述，g（a）=

a2 4 - 1 2 a|a|+2a-3，-4≤a≤4 1，a＜-4或a＞4

=

3a2 4 +2a-3，-4≤a≤0 - a2 4 +2a-3，0＜a≤4 1，a＜-4或a＞4

．

点评：本题函数图象的作法，着重考查函数单调性的判断与证明及二次函数在闭区间上的最值，考查综合分析与运用的能力，属于难题．