Question

（2012•江西模拟）张先生的鱼缸中有7条鱼，其中6条青鱼和1条黑鱼，计划从当天开始，每天中午从该鱼缸中抓出1条鱼（每条鱼被抓到的概率相同）并吃掉．若黑鱼未被抓出，则它每晚要吃掉1条青鱼（规定青鱼不吃鱼）．
（1）求这7条鱼中至少有6条被张先生吃掉的概率；
（2）以X表示这7条鱼中被张先生吃掉的鱼的条数，求X的分布列及其数学期望EX．

Answer 1

分析：（1）本题是一个等可能事件的概率，设张先生能吃到的鱼的条数为ξ，分别计算出张先生要想吃到7条鱼就必须在第一天吃掉黑鱼及张先生要想吃到6条鱼就必须在第二天吃掉黑鱼的概率，从而得出张先生至少吃掉6条鱼的概率得到结果．
（2）由题意知张先生能吃到的鱼的条数ξ可取4，5，6，7，结合变量对应的事件和等可能事件的概率公式写出变量的概率，写出分布列和做出期望值．

解答：解：（1）设张先生能吃到的鱼的条数为ξ
张先生要想吃到7条鱼就必须在第一天吃掉黑鱼，P(ξ=7)=

1

7

…（2分）
张先生要想吃到6条鱼就必须在第二天吃掉黑鱼，P(ξ=6)=

6

7

×

1

5

=

6

35

…（4分）
故张先生至少吃掉6条鱼的概率是P(ξ≥6)=P(ξ=6)+P(ξ=7)=

11

35

…（6分）
（2）张先生能吃到的鱼的条数ξ可取4，5，6，7，最坏的情况是只能吃到4条鱼：前3天各吃掉1条青鱼，其余3条青鱼被黑鱼吃掉，第4天张先生吃掉黑鱼，其概率为
P（ξ=4）=

6

7

×

4

5

×

1

3

=

16

35

 …（8分） 
 P(ξ=5)=

6

7

×

4

5

×

1

3

=

8

35

…（10分）
所以ξ的分布列为（必须写出分布列，否则扣1分）

ξ	4	5	6	7
P	16 35	8 35	6 35	1 7

…（11分）
故Eξ=

4×16

35

+

5×8

35

+

6×6

35

+

7×5

35

=5，所求期望值为5．…12

点评：本题考查等可能事件的概率，考查相互独立事件同时发生的概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，本题是一个典型的综合题目．