Question

（本题满分12分）如图，四棱锥中，底面为矩形，⊥底面,，点是棱的中点.                                                   

（Ⅰ）求点到平面的距离；

(Ⅱ) 若，求二面角的平面角的余弦值 .

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；(Ⅱ)

【解析】(I)可以利用体积法求解，根据．也可利用向量法．

(II)可以考虑向量法，建系后，求出二面角两个面的法向量，然后求出法向量的夹角，再根据法向量的夹角与二面角相等或互补求解．

解：(Ⅰ)以为坐标原点，射线 分别为轴、轴、轴正半轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，  .因此），，.

则，所以⊥平面.又由∥知∥平面，故点到平面的距离为点到平面的距离，即为…（6分）

（Ⅱ)因为，则.设平面的法向量，则由可解得：，同理可解得

平面的法向量，故

所以二面角的平面角的余弦值为.                ……（12分）

注：此题也可用传统法解答，可类似给分.