题目内容
若x+y+z=1，x、y、z∈R,求证：x2+y2+z2≥
.
思路分析：三个未知数地位相同，都是二次式，首先想到作差，化为完全平方式的形式，进而可证，又由于都是二次式，也可以结合二次函数进行研究，结合判别式进行证明.
证明：［方法一］x2+y2+z2-=
(3x2+3y2+3z2-1)
=
［3x2+3y2+3z2-(x+y+z)2］
=
［(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2］≥0.
［方法二］∵z=1-y-x,
∴x2+y2+z2-
=x2+y2+(1-x-y)2-
=2x2+2y2-2x-2y+2xy+
=2［x2+(y-1)x+y2-y+
］,
Δ=［(y-1)］2-4(y2-y+
)
=y2-2y+1-4y2+4y-
=-3y2+2y-
=-
［9y2-6y+1］
=-
(3y-1)2≤0,
∴x2+(y-1)x+y2-y+
≥0恒成立，
即x2+y2+y2-
≥0,
∴x2+y2+y2≥
.
［方法三］设x=
+t1,y=
+t2,z=
+t3,
∵x+y+z=1,∴t1+t2+t3=0.
则x2+y2+z2=(
+t1)2+(
+t2)2+(
+t3)2
=
+
(t1+t2+t3)+(t12+t22+t32)=
+(t12+t22+t32)≥
（当且仅当x=y=z=
时，等号成立）.
［方法四］∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≤a2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c2，
∴3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2=1，∴a2+b2+c2≥
.
练习册系列答案
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+
+
≤3
；
某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
（Ⅰ） 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
（Ⅱ） 在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，
（i） 用产品编号列出所有可能的结果；
（ii）设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．
| 产品编号 | A1 | A2 | A3 | A4 | A5 |
| 质量指标（x，y，z） | （1，1，2） | （2，1，1） | （2，2，2） | （1，1，1） | （1，2，1） |
| 产品编号 | A6 | A7 | A8 | A9 | A10 |
| 质量指标（x，y，z） | （1，2，2） | （2，1，1） | （2，2，1） | （1，1，1） | （2，1，2） |
（Ⅱ） 在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，
（i） 用产品编号列出所有可能的结果；
（ii）设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．