Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为3，侧棱AA₁=

3 3

2

，D是CB延长线上一点，且BD=BC．
（1）求证：直线BC₁∥平面AB₁D；
（2）求三棱锥C₁-ABB₁的体积．

Answer 1

分析：（1）利用线面平行的判定，证明B₁D∥BC₁即可；
（2）利用等体积转化VC1-AA1B1=VA-A1B1C1，即可求三棱锥C₁-ABB₁的体积．

解答：（1）证明：∵BD平行B₁C₁，BD=B₁C₁，
∴四边形BDB₁C₁为平行四边形
∴B₁D∥BC₁，
∵B₁D?平面AB₁D，
∴直线BC₁∥平面AB₁D
（2）解：在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∵S△ABB1=SAA1B1
∴VC1-AA1B1=VA-A1B1C1=

1

3

S△A1B1C1•AA1=

1

3

(4×

3

4

×32)×

3 3

2

=

27

8

．
∴三棱锥C₁-ABB₁的体积为

27

8

．

点评：本题考查线面平行，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．