Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n﹣2（n∈N^*），在数列{b_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线x﹣y+2=0上．

（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；

（2）记T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，求T_n．

Answer 1

考点：

数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．

专题：

计算题；等差数列与等比数列．

分析：

（1）由S_n=2a_n﹣2得：S_n﹣1=2a_n﹣1﹣2（n≥2），两式相减可得a_n=2a_n﹣1（n≥2），再求得a₁=2，可知数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，从而可求a_n=2ⁿ；点P（b_n，b_n+1）在直线x﹣y+2=0上，可知b_n+1﹣b_n=2，又b₁=1，从而可求得{b_n}的通项公式；

（2））T_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n﹣3）×2^n﹣1+（2n﹣1）×2ⁿ①，2T_n=1×2²+3×2³+…+（2n﹣3）×2ⁿ+（2n﹣1）×2ⁿ⁺¹②，错位相减即可求得T_n．

解答：

解：（1）由S_n=2a_n﹣2得：S_n﹣1=2a_n﹣1﹣2（n≥2），

两式相减得：a_n=2a_n﹣2a_n﹣1，即=2（n≥2），

又a₁=2a₁﹣2，

∴a₁=2，

∴数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，

∴a_n=2ⁿ．

∵点P（b_n，b_n+1）在直线x﹣y+2=0上，

∴b_n+1﹣b_n=2，

∴数列{b_n}是等差数列，

∵b₁=1，

∴b_n=2n﹣1；

（2）T_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n﹣3）×2^n﹣1+（2n﹣1）×2ⁿ①

∴2T_n=1×2²+3×2³+…+（2n﹣3）×2ⁿ+（2n﹣1）×2ⁿ⁺¹②

①﹣②得：﹣T_n=1×2+2（2²+2³+…+2ⁿ）﹣（2n﹣1）×2ⁿ⁺¹

=2+2×﹣（2n﹣1）×2ⁿ⁺¹

=2+2×2ⁿ⁺¹﹣8﹣（2n﹣1）×2ⁿ⁺¹

=（3﹣2n）2ⁿ⁺¹﹣6，

∴T_n=（2n﹣3）2ⁿ⁺¹+6．

点评：

本题考查等差数列与等比数列的通项公式，考查等比关系的确定与错位相减法求和，属于中档题．