Question

已知函数f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x-t．
（Ⅰ）若方程f（x）=0在x∈[0，

π

2

]上有解，求t的取值范围；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C所对的边，若t=3，且f（A）=-1，b+c=2，求a的最小值．

Answer 1

（I）∵sinxcosx=

1

2

sin2x，cos²x=

1

2

（1+cos2x）
∴f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x-t=

3

sin2x+cos2x+1-t
=2（sin2xcos

π

6

+cos2xsin

π

6

）+1-t=2sin（2x+

π

6

）+1-t
当x∈[0，

π

2

]时，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，可得-

1

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1
∴方程f（x）=0有解，即

-1+1-t≤0 2+1-t≥0

，解之得0≤t≤3；
（II）∵t=3，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1-t=2sin（2x+

π

6

）-2
可得f（A）=2sin（2A+

π

6

）-2=-1，sin（2A+

π

6

）=

1

2

∵A是三角形的内角，∴A=

π

3

根据余弦定理，得a²=b²+c²-2bccos

π

3

=（b+c）²-3bc
∵b+c=2，可得bc≤（

b+c

2

）²=1
∴a²=（b+c）²-3bc≥（b+c）²-3=2²-3=1
即当且仅当b=c=1时，a的最小值为1．