Question

如图，已知长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁，AB＝2，AA₁＝1，直线BD与平面AA₁B₁B所成的角为30°，AE垂直BD于E，F是A₁B₁的中点．

(1)求异面直线AE与BF所成的角．

(2)求平面BDF与平面AA₁B所成二面角(锐角)的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解：如图，建立空间直角坐标系． 　　∵AB＝2，AA1＝1，∴A(0，0，0)，B(2，0，0)，F(1，0，1)． 　　又AD⊥平面ABB1A1，从而BD与平面ABB1A1所成的角为∠DBA＝30°． 　　又AE⊥BD于E，∴AE＝1，AD＝． 　　∴E(，，0)，D(0，，0)． 　　(1)∵＝(，，0)，＝(－1，0，1)， 　　∴cos〈，〉＝． 　　∴异面直线AE、BF所成的角为arccos． 　　(2)设平面BDF的一个法向量为n＝(x，y，z)， 　　则 　　令z＝1，则n＝(1，，1)． 　　又平面ABB1A1的一个法向量为m＝(0，1，0)． 　　∴cos〈m，n〉＝， 　　即平面BDF与平面AA1B所成二面角(锐角)大小为arccos．

提示：

求二面角大小时，既可以用先作出平面角，再利用解三角形的知识求解，也可以用向量知识求解．在用向量法求解时，应注意两个问题：一是建系后两个平面的法向量求解正确；二是求出了两法向量夹角后，应结合图形与题意判断求出的是二面角的大小，还是它的补角的大小，从而确定二面角大小．