Question

数列{a_n}满足a₁=1，且，
（Ⅰ）用数学归纳法证明：a_n≥2（n≥2）；
（Ⅱ）已知不等式ln（1+x）＜x对x＞0成立，证明：a_n＜e²（n≥1），其中无理数e=2.71828…。

Answer 1

（Ⅰ）证明：（1 ）当n=2时，，不等式成立；
（2）假设当n=k（k≥2）时不等式成立，即，
那么，
这就是说，当n=k+1时不等式成立；
根据（1）、（2）可知：对所有n≥2成立；
（Ⅱ）证明：由递推公式及（Ⅰ）的结论
有，
两边取对数并利用已知不等式得
，
故，
上式从1到n-1求和可得

，
即，故。