Question

在四棱锥P-ABCD中，AD⊥AB，CD∥AB，PD⊥底面ABCD，

AB

AD

=

2

，∠PAD=60°，点M，N分别是PA，PB的中点．
（I）求证：MN∥面ABCD；
（II）如果△CDN为直角三角形，求

CD

AB

的值．

Answer 1

分析：（I）由直线MN∥AB，再根据线面平行的判定定理证得MN∥面ABCD；
（II））因为△DCN是直角三角形，但哪一个角是直角不清楚，所以先分类讨论，再由平面知识求解．

解答：解：（I）由条件有直线MN∥AB，而AB?面ABCD，MN∉面ABCD，所以MN∥面ABCD；（5分）
（II）①若∠DCN=90°，与CD⊥面PAD，CD⊥DM矛盾，所以不可能
②若∠DCN=90°，则四边形MNCD为矩形设AB=

2

a，则CD=MN=

2

2

a，可得

CD

AB

=

1

2

③若∠DNC=90°，则设AB=

2

a，则由已知有Rt△MDN∽RT△NCD，可得

CD

AB

=

3

2

．

点评：本题主要考查线面平行的判定定理和平面几何中平面图形和相似问题．