题目内容

椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左端点为A，左、右焦点分别是F1、F2，D是短轴的一个端点，若3
DF1
=
DA
+2
DF2
，则该椭圆的离心率为
1
5
1
5
．
分析：根据方程得出焦点F1、F2、A和D关于a、b、c的坐标，从而得到向量
DF1
、
DF2
和
DA
关于a、b、c的坐标形式，代入题中所给的向量等式，化简可得a=5c，由此即可得到该椭圆的离心率．
解答：解：∵椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)
∴椭圆的焦点为F1（-c，0），F2（c，0）
且A（-a，0），设D（0，b），可得
DF1
=（-c，-b），
DA
=（-a，-b），
DF2
=（c，-b）
∵3
DF1
=
DA
+2
DF2

∴
-3c=-a+2c
-3b=-b-2b
，由此可得a=5c
所以该椭圆的离心率e=
c
a
=
1
5

故答案为：
1
5
点评：本题给出椭圆中的向量，在已知线性表示等式的情况下求椭圆的离心率，着重考查了椭圆的简单性质和向量坐标运算等知识，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=
2
2
，右准线方程为x=2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直线l的方程．
精英家教网如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，求证：|AT|2=
1
2
|AF1||AF2|．
精英家教网如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF1的中点，求证：∠ATM=∠AF1T．
设 A（x1，y1）、B（x2，y2）是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的两点，O为坐标原点，向量
m
=(
x1
a
，
y1
b
)，
n
=(
x2
a
，
y2
b
)且
m
•
n
=0．
（1）若A点坐标为（a，0），求点B的坐标；
（2）设
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
，证明点M在椭圆上；
（3）若点P、Q为椭圆 上的两点，且
PQ
∥
OB
，试问：线段PQ能否被直线OA平分？若能平分，请加以证明；若不能平分，请说明理由．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=
2
2
，右准线方程为x=2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直线l的方程．

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