题目内容

已知下列命题：（1）已知函数 $数学公式$ （p为常数且p＞0），若f（x）在区间（1，+∞）的最小值为4，则实数p的值为 $数学公式$ ；（2） $数学公式$ ；（3）正项等比数列{a_n}中：a₄．a₆=8，函数f（x）=x（x+a₃）（x+a₅）（x+a₇），则 $数学公式$ ；（4）若数列{a_n}的前n项和为S_n=2n²-n+1，且b_n=2a_n+1，则数列{b_n}前n项和为T_n=4n²-n+2上述命题正确的序号是________．

解：①∵函数 $\text{[math]}$ =x-1+ $\text{[math]}$ +1≥2 $\text{[math]}$ +1（当且仅当x-1= $\text{[math]}$ 等号成立），
∴2 $\text{[math]}$ +1=4，∴p= $\text{[math]}$ ，∴（x-1）= $\text{[math]}$ ，解得x= $\text{[math]}$ 或- $\text{[math]}$ ，∴实数p= $\text{[math]}$ ，故该命题是真命题；
②∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ 是假命题；
③∵a₄．a₆=8，∴a₅=2 $\text{[math]}$ ，a₃= $\text{[math]}$ ，a₇=4 $\text{[math]}$ ，
∵f′（x）=（x+a₃）（x+a₅）（x+a₇）+x（x+a₅）（x+a₇）+x（x+a₃）（x+a₇）+x（x+a₃）（x+a₅），
∴f′（0）=a₃•a₅•a₇ $\text{[math]}$ ，故正确；
④∵b_n=2a_n+1，数列{a_n}的前n项和为S_n=2n²-n+1，
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=2a₁+2a₂+2a₃+…+2a_n+n
=2S_n+n=4n²-n+2，故正确；
故答案为①③④．
分析：①将函数f（x）配成基本不等式的形式，然后利用基本不等式的性质进行求解．②根据 $\text{[math]}$ ，可知该命题是假命题；③利用等比数列的性质和定义，分别求出a₅=2 $\text{[math]}$ ，a₃= $\text{[math]}$ ，a₇=4 $\text{[math]}$ ，对函数f（x）=x（x+a₃）（x+a₅）（x+a₇）求导，即可求得 $\text{[math]}$ ，④根据题意b_n=2a_n+1，可得T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=2a₁+2a₂+2a₃+…+2a_n+n，整体代入即可求得结果．
点评：本题考查命题的真假判定，以及三角函数的最值和数列求和，导数等基础知识，是一道综合题，考查学生对基础知识掌握的熟练程度，以及思维的转换，是一道不错的考题，属中档题．