Question

（2012•佛山二模）已知直线l：2x+y+2=0与椭圆C：x²+

y2

4

=1交于A，B两点，P为C上的点，则使△PAB的面积S为

1

2

的点P的个数为（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：设出P₁的坐标，表示出四边形P₁AOB面积S利用两角和公式整理后．利用三角函数的性质求得面积的最大值，进而求得△P₁AB的最大值，利用

2

-1＜

1

2

判断出点P不可能在直线AB的下方，进而推断出在直线AB的上方有两个点P，得到正确的选项．

解答：解：设P₁（cosα，2sinα）（π＜α＜

3π

2

），即点P₁在第三象限的椭圆上，
考虑四边形P₁AOB面积S，
可得：S=S_△OAP1+S_△OBP1=

1

2

×1×（-2sinα）+

1

2

×2×（-cosα）=-（sinα+cosα）=-

2

sin（α+

π

4

），
∴S_max=

2

，
∵S_△OAB=

1

2

×1×2=1为定值，
∴S_△P1AB的最大值为

2

-1＜

1

2

，
∴点P不可能在直线AB的下方，显然在直线AB的上方有两个点P．
故选C

点评：此题考查了直线与圆锥曲线的关系，坐标与图形性质，正弦函数的定义域与值域，以及两角和与差的正弦函数公式，同时锻炼了学生分析问题和解决问题的能力．