Question

给定两个长度为1的平面向量

OA

和

OB

，它们的夹角θ=60°，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧

AB

上变动．若

OC

=x

OA

+y

OB

，其中x，y∈R，则x+y的最大值是

4 3

3

．

Answer 1

分析：本题是向量的坐标表示的应用，结合图形，利用三角函数的性质，即可求出结果．

解答：解：建立如图所示的坐标系，则B（1，0），A（cos60°，sin60°），即A（

1

2

，

3

2

）

设∠BOC=α，则

OC

=（cosα，sinα）
∵

OC

=x

OA

+y

OB

=（

1

2

x+y，

3

2

x）
∴

cosα= 1 2 x+y sinα= 3 2 x

∴x=2cosα-

4

3

sinα，y=

2

3

sinα
∴x+y=2cosα+

2

3

sinα=

4 3

3

sin（α+60°）
∵0°≤α≤60°，∴60°≤α+60°≤120°
∴

3

2

≤sin（α-60°）≤1，
∴x+y有最大值

4 3

3

，当α=30°时取最大值．
故答案为

4 3

3

．

点评：本题考查向量知识的运用，考查三角函数的性质，确定x，y的关系式是关键．