Question

【题目】已知函数，其中为自然对数的底数．

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）．

【解析】试题分析：（1）利用导数的意义求得切线方程为；（2），设，通过求导，分类讨论，得到

的取值范围为．

试题解析：

（1）依题意， ， ，

故，而，故所求方程为，

即．

（2），

依题意，当时， ，

即当时， ；

设，则，

设，则．

①当时，∵，∴，从而（当且仅当时，等号成立），

∴在上单调递增，

又∵，∴当时， ，从而当时， ，

∴在上单调递减，又∵，

从而当时， ，即，

于是当时， ；

②当时，令，得，∴，

故当时， ，

∴在上单调递减，

又∵，∴当时， ，

从而当时， ，

∴在上单调递增，又∵，

从而当时， ，即，

于是当时， ，不符合题意．

综上所述，实数的取值范围为．