Question

设函数f(x)=

x+a

x+b

(a＞b＞0)，求f（x）的单调区间，并证明f（x）在其单调区间上的单调性．

Answer 1

分析：判断函数的单调性可以通过定义做，也可利用导函数做．

解答：解：函数f(x)=

x+a

x+b

的定义域为（-∞，-b）∪（-b，+∞）．
f（x）在（-∞，-b）内是减函数，f（x）在（-b，+∞）内也是减函数．
证明f（x）在（-b，+∞）内是减函数．
取x₁，x₂∈（-b，+∞），且x₁＜x₂，那么f(x1)-f(x2)=

x1+a

x1+b

-

x2+a

x2+b

=

(a-b)(x2-x1)

(x1+b)(x2+b)

，
∵a-b＞0，x₂-x₁＞0，（x₁+b）（x₂+b）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x）在（-b，+∞）内是减函数．
同理可证f（x）在（-∞，-b）内是减函数．

点评：本小题主要考查函数的单调性及不等式的基础知识，考查数学推理判断能力．