Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．求：
（1）sinB；
（2）若b=4，且a=c，求边c长．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用正弦定理将题中等式化简，可得sin（B+C）=3sinAcosC，结合sin（B+C）=sinA＞0，解出cosC=，最后用同角三角函数的基本关系即可算出的sinB值；
（2）余弦定理b²=a²+c²-2accosB的式子，代入题中数据可得关于c的方程，解之即可得到边c长．
解答：解：（1）∵△ABC中，，
∴由正弦定理，得，
即sinBcosC=3sinAcosC-cosBsinC，
∴sinBcosC+cosBsinC=3sinAcosC，即sin（B+C）=3sinAcosC，
∵△ABC中，B+C=π-A，得sin（B+C）=sinA
∴等式化简为sinA（1-3cosC）=0，结合sinA＞0，得cosC=
因此，sinB==
（2）根据余弦定理b²=a²+c²-2accosB，得
32=a²+c²-2ac×=c²，解之得c=2
即边c长为．
点评：本题给出三角形的边角关系式，求sinB值并由此求边c之长．着重考查了同角三角函数的基本关系、正余弦定理等知识，属于中档题．