Question

在平面直角坐标系中，曲线y=x²-x-6与坐标轴的交点都在圆C上
（1）求圆C的方程
（2）若圆C与直线x+y-1=0交于A，B两点，求弦长|AB|

Answer 1

分析：（1）先求出曲线y=x²-x-6与坐标轴的交点的坐标，设所求的圆C的方程为 x²+y²+Dx+Ey+F=0，再把曲线与坐标轴的交点坐标代入圆C的方程，求得D、E、F的值，即可求得所求的圆C的方程0．
（2）利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离为d，可得弦长|AB|=2

r2-d2

的值．

解答：解：（1）在平面直角坐标系中，曲线y=x²-x-6与坐标轴的交点分别为（0，-6）、（-2，0）、（3，0）．
设所求的圆C的方程为 x²+y²+Dx+Ey+F=0，再把曲线y=x²-x-6与坐标轴的交点坐标代入圆C的方程，
可得

-2D+F+4=0 3D+F+9=0 -6E+F+36=0

，解得

D=-1 E=5 F=-6

，故所求的圆C的方程为 x²+y²-x+5y-6=0．
（2）圆C即 (x-

1

2

)2+(y+

5

2

)2=

25

2

，由于圆心到直线的距离为d=

| 1 2 - 5 2 -1|

2

=

3

2

，
故弦长|AB|=2

r2-d2

=2

25 2 - 9 2

=4

2

．

点评：本题主要考查用待定系数法求圆的标准方程，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于中档题．