题目内容
6．数列{an}的前n项和为Sn，S3=9a1，且对n∈N+，点（n，an）恒在直线f（x）=2x+k上，其中k为常数（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和Tn．
分析 （1）由点（n，an）恒在直线f（x）=2x+k上，得an=2n+k，结合S3=9a1列式求得k值，则数列的通项公式可求；
（2）把数列的通项公式代入$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，然后利用裂项相消法求数列的和Tn．
解答 解：（1）由点（n，an）恒在直线f（x）=2x+k上，得an=2n+k，
又S3=9a1，得a1+a2+a3=9a1，
∴2+k+4+k+6+k=9（2+k），解得k=-1．
∴an=2n-1；
（2）$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
Tn=$\frac{1}{2}$（$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（$1-\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$．
点评 本题考查了数列的函数特性，考查了数列递推式，训练了裂项相消法求数列的和，是中档题．
练习册系列答案
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| A． | $\frac{π}{6}$ | B． | $\frac{π}{5}$ | C． | $\frac{π}{4}$ | D． | $\frac{π}{3}$ |
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| A． | [0，$\frac{π}{4}$） | B． | [$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$） | C． | （$\frac{π}{2}$，$\frac{3}{4}$π] | D． | [$\frac{3}{4}$π，π） |
如图，?ABCD中，M、N分别是边DC、BC的中点．
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| A． | $\frac{1}{4π}$ | B． | $\frac{1}{2π}$ | C． | $\frac{1}{π}$ | D． | $\frac{1}{4}$ |