Question

某公司为了加大产品的宣传力度，准备立一块广告牌，在其背面制作一个形如△ABC的支架，要求∠ACB=60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米．为节省材料，要求AC的长度越短越好．求AC的最短长度，且当AC最短时，BC的长度为多少米？

Answer 1

【答案】分析：把三角形的三边用未知数表示出来，利用余弦定理建立方程，将AC的长度表示成BC长度的函数，（题目中要求求AC的最小值）然后再根据题目条件确定求最值的方法，一般选用单调性法或者用基本不等式，本题所建立的函数关系可以用这两种方法求最值，故给出了两种求最值的方法．
解答：解：设BC=x米（x＞1），AC=y米，则AB=y-．在△ABC中，
由余弦定理，得（y-）²=y²+x²-2xycos60°．所以y=（x＞1）．
法一：y==（x-1）++2≥2+．
当且仅当x-1=，即x=1+时，y有最小值2+．
法二：y′==．
由y′=0得x=1+．因为当1＜x＜1+时，y′＜0；当x＞1+时，y′＞0，
所以当x=1+时，y有最小值2+．
答：AC的最短长度为2+米，此时BC的长度为（1+）米．
点评：本题考查余弦定理的应用，以之建立相关的函数，请答题者在做完这个题后，注意总结本题转化的经验，在求最值时要根据所给函数的形式灵活选用求最值的方法．