Question

某公司为了加大产品的宣传力度，准备立一块广告牌，在其背面制作一个形如△ABC的支架，要求∠ACB=60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米．为节省材料，要求AC的长度越短越好．求AC的最短长度，且当AC最短时，BC的长度为多少米？

Answer 1

分析：把三角形的三边用未知数表示出来，利用余弦定理建立方程，将AC的长度表示成BC长度的函数，（题目中要求求AC的最小值）然后再根据题目条件确定求最值的方法，一般选用单调性法或者用基本不等式，本题所建立的函数关系可以用这两种方法求最值，故给出了两种求最值的方法．

解答：解：设BC=x米（x＞1），AC=y米，则AB=y-

1

2

．在△ABC中，
由余弦定理，得（y-

1

2

）²=y²+x²-2xycos60°．所以y=

x2- 1 4

x-1

（x＞1）．
法一：y=

x2- 1 4

x-1

=（x-1）+

3

4(x-1)

+2≥2+

3

．
当且仅当x-1=

3

4(x-1)

，即x=1+

3

2

时，y有最小值2+

3

．
法二：y′=

2x(x-1)-x2+ 1 4

(x-1)2

=

x2-2x+ 1 4

(x-1)2

．
由y′=0得x=1+

3

2

．因为当1＜x＜1+

3

2

时，y′＜0；当x＞1+

3

2

时，y′＞0，
所以当x=1+

3

2

时，y有最小值2+

3

．
答：AC的最短长度为2+

3

米，此时BC的长度为（1+

3

2

）米．

点评：本题考查余弦定理的应用，以之建立相关的函数，请答题者在做完这个题后，注意总结本题转化的经验，在求最值时要根据所给函数的形式灵活选用求最值的方法．