Question

（2007•湖北模拟）平面上点P与点F（0，1）的距离比它到直线y+2=0的距离小1
（1）求出点P的轨迹方程；
（2）过点F作点P的轨迹动弦CD，过C、D两点分别作点P的轨迹的切线，设其交点为M，求点M的轨迹方程，并求出

FC • FD

FM2

的值．

Answer 1

分析：（1）由已知条件，点P与点F距离等于它到直线y=-1的距离，故其轨迹为以F（0，1）为焦点的抛物线，从而可求点P的轨迹方程
（2）设C(x3，

1

4

x32)，D(x4，

1

4

x42)，由导数的几何意义可先求两切线的斜率，进而可得过抛物线上C、D两点的切线方程，切线的交点M的坐标为(

x3+x4

2

，

x3x4

4

)设CD的直线方程为y=nx+1，代入x²=4y，根据方程的根与系数的关系可求，M的轨迹方程；利用向量的数量积的坐标表示及方程的根与系数的关系代入可求

解答：解：（1）由已知条件，点P与点F距离等于它到直线y=-1的距离，故其轨迹为以F（0，1）为焦点的抛物线．
∵

P

2

=1
∴P=2故点P的轨迹方程为x²=4y（6分）
（2）设C(x3，

1

4

x32)，D(x4，

1

4

x42)
过抛物线上C、D两点的切线方程分别是y=

1

2

x3x-

1

4

x32，y=

1

2

x4x-

1

4

x42
∴两条切线的交点M的坐标为(

x3+x4

2

，

x3x4

4

)
设CD的直线方程为y=nx+1，代入x²=4y得x²-4nx-4=0
∴x₃x₄=-4故M的坐标为(

x3+x4

2

，-1)
故点M的轨迹为y=-1（10分）
∵

FC

=(x3，

1

4

x32-1)

FD

=(x4，

1

4

x42-1)
∴

FC

•

FD

=x3x4+

1

4

x32•

1

4

x42-

1

4

(x32+x42)+1
=x3x4+1-

1

4

(x32+x42)+1=-

1

4

(x32+x42)-2
而

FM

=(

x3+x4

2

-0)2+(-1-1)2
=

x32+x42+2x3x4

4

+4=

1

4

(

x

2 3

+

x

2 4

)+2
故

FA • FB

FM 2

=-1（14分）

点评：本题目主要考查了抛物线定义的灵活应用求解抛物线的方程，解题的关键是根据题意进行转化，还考查了利用导数的几何意义求解曲线的切线方程．