Question

【题目】已知函数 （a＞0）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当 a=1时， ，
，
所以，函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为
即：5x﹣4y﹣4=0
（Ⅱ）函数的定义域为：{x|x≠0}

当0＜a≤2时，f′（x）≥0恒成立，
所以，f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调递增
当a＞2时，令f′（x）=0，
即：ax2+2﹣a=0， ，
f′（x）＞0，x＞x2或x＜x1；
f′（x）＜0，x1＜x＜0或0＜x＜x2 ，
所以，f（x）单调递增区间为 ，
单调减区间为 ．
（Ⅲ）因为f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，
则 ．
令g′（x）=0，则
若 ，即a=1时，g′（x）≥0，
函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，又g（1）=0，
所以，f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立；
若 ，即a＜1时，当 时，
g′（x）＞0，g（x）单调递增；
当 时，g′（x）＜0，g（x）单调递减
所以，g（x）在[1，+∞）上的最小值为 ，
因为g（1）=0，所以 不合题意．
，即a＞1时，当 时，
g′（x）＞0，g（x）单调递增，
当 时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
所以，g（x）在[1，+∞）上的最小值为g（1）
又因为g（1）=0，所以f（x）≥2lnx恒成立
综上知，a的取值范围是[1，+∞）
【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（2），f′（2）的值，代入切线方程即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调性即可；（Ⅲ）问题等价于 在[1，+∞）上恒成立，令 ，根据函数的单调性求出a的范围即可．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．