Question

已知函数f（x）=x²+mlnx．．
（1）若函数f（x）的图象在（2，f（2））处的切线斜率为3，求实数m的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若函数g(x)=

2

x

+f(x)在[1，2]上是减函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=x²+mlnx，知f′(x)=2x+

m

x

=

2x2+m

x

，由函数f（x）的图象在（2，f（2））处的切线斜率为3，知f'（2）=3，由此能求出m．
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），当m≥0时，f'（x）＞0，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；当m＜0时，f′(x)=

2(x+ -m 2 )(x- -m 2 )

x

=

2(x+ -2m 2 )(x- -2m 2 )

x

，列表讨论，能求出函数f（x）的单调区间．
（3）由g(x)=

2

x

+x2+mlnx，得g′(x)=-

2

x2

+2x+

m

x

，由函数g（x）为[1，2]上的单调减函数，知g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，由此能求出实数m的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=x²+mlnx，
∴f′(x)=2x+

m

x

=

2x2+m

x

，
∵函数f（x）的图象在（2，f（2））处的切线斜率为3，
∴f'（2）=3，
∴

2×4+m

2

=3，
解得m=-2．
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
①当m≥0时，f'（x）＞0，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；
②当m＜0时f′(x)=

2(x+ -m 2 )(x- -m 2 )

x

=

2(x+ -2m 2 )(x- -2m 2 )

x

．
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：

x	(0， -2m 2 )	-2m 2	( -2m 2 ，+∞)
f'（x）	-	0	+
f（x）		极小值

由上表可知，函数f（x）的单调递减区间是(0，

-2m

2

)；
单调递增区间是(

-2m

2

，+∞)．
（3）由g(x)=

2

x

+x2+mlnx，得g′(x)=-

2

x2

+2x+

m

x

，
∵函数g（x）为[1，2]上的单调减函数，
∴g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，
∴-

2

x2

+2x+

m

x

≤0在[1，2]上恒成立．
∴m≤

2

x

-2x2在[1，2]上恒成立．
令h(x)=

2

x

-2x2，
在[1，2]上h′(x)=-

2

x2

-4x=-2(

1

x2

+2x)＜0，
所以h（x）在[1，2]为减函数．h（x）_min=h（2）=-7，
所以m≤-7．

点评：本题考查导数的几何意义的应用，函数单调性的求法，考查实数取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用．