Question

（本小题满分14分）
已知抛物线：和点，若抛物线上存在不同两点、满足．
（1）求实数的取值范围；
（2）当时，抛物线上是否存在异于、的点，使得经过、、三点的圆和抛物线在点处有相同的切线，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解法1：（1）不妨设A，B，且，
∵，∴．
∴，．…………………4分
∵（），即，
∴，即的取值范围为．…………………6分
（2）当时，由（1）求得.的坐标分别为.．
假设抛物线上存在点（且），…………8分
使得经过..三点的圆和抛物线在点处有相同的切线．
设经过..三点的圆的方程为，
则 
整理得．      ①…………9分
∵函数的导数为，
∴抛物线在点处的切线的斜率为，
∴经过..三点的圆在点处的切线
斜率为．………10分
∵，∴直线的斜率存在．
∵圆心的坐标为，
∴，
即．      ②…………………12分
∵，由①.②消去，得．
即．
∵，∴．
故满足题设的点存在，其坐标为．…………………14分
解法2：（1）设，两点的坐标为，且。
∵，可得为的中点，
即．…………………2分
显然直线与轴不垂直，
设直线的方程为，
即，…………………3分
将代入中，
得． …………………4分
∴ ∴．
故的取值范围为．     …………………6分
（2）当时，由（1）求得，的坐标分别为．  
假设抛物线上存在点（且），
使得经过..三点的圆和抛物线在点处有相同的切线．
设圆的圆心坐标为，
∵  
∴
即               …………………8分
解得  …………………10分
∵抛物线在点处切线的斜率为，
而，且该切线与垂直，∴．   
即．…………………12分
将，代入上式，
得．
即 
∵且，∴．
故满足题设的点存在，其坐标为．    …………………14分

略