Question

（本小题满分16分）

设P是一个数集，且至少含有三个数，若对任意a , b∈P（a≠b）

都有，、、∈P（除数b≠0），则称P是一个数域．

例如：有理数集是数域，实数集也是数域．

（１）求证：整数集不是数域；

（２）求证：数域必含有0, 1两个数；

（３）若有理数集，那么数集是否一定为数域？说明理由．

Answer 1

证明：（１）若整数集Z是数域，             …………………………………1分

则由1∈Z，2∈Z，得∈Z，     …………………………………3分

与Z矛盾．                    …………………………………4分

           故整数集Z是数域不可能，即整数集Z不是数域   ……………………5分

（２）设P是一个数域，a , b∈P，a ≠ b, ab ≠ 0

      则 

所以                ……………………8分

     同理可得，         ……………………9分

所以－1＋1＝0∈P                   ……………………10分

故数域必含有0 , 1两个数

（３）数集不一定为数域．                        ……………………11分

 例如：①若，则，且是数域；      ……………………12分

       ②若,或}则，但不是数域；…13分

       假设M是数域，则由－1∈M, ∈M, 得

所以与矛盾!……………………………15分

       综上所述：数集不一定为数域．             ……………………16分