Question

已知△ABC的三内角A、B、C所对的边分别是a，b，c，向量 

m

=（cosB，cosC），

n

=（2a+c，b），且

m

⊥

n

．
（1）求角B的大小；
（2）若b=

3

，求a+c的范围．

Answer 1

分析：（1）由两向量的坐标，及两向量垂直，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，求出cosB的值，即可确定出B的度数；
（2）由b及cosB的值，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出a+c的最大值，最后利用三角形两边之和大于第三边求出a+c的范围即可．

解答：解：（1）∵

m

=（cosB，cosC），

n

=（2a+c，b），且

m

⊥

n

，
∴cosB（2a+c）+bcosC=0，
利用正弦定理化简得：cosB（2sinA+sinC）+sinBcosC=0，
整理得：2cosBsinA+cosBsinC+sinBcosC=0，
即2cosBsinA=-sin（B+C）=-sinA，
∴cosB=-

1

2

，
∵0＜B＜180°，
∴B=120；
（2）∵b=

3

，cosB=-

1

2

，
∴由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB，
即3=a²+c²+ac=（a+c）²-ac≥（a+c）²-（

a+c

2

）²=

3

4

（a+c）²，
当且仅当a=c时取等号，
∴（a+c）²≤4，即a+c≤2，
又a+c＞b=

3

，
∴a+c∈（

3

，2]．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键．