Question

已知函数f（x）=x²-x，g（x）=lnx-f（x）f'（x）
（1）求g（x）的最大值及相应x的值；
（2）对任意的正数x，恒有f(x)+f(

1

x

)≥(x+

1

x

)ln(m2-2m-2)，求实数m的最大值．

Answer 1

分析：（1）写出g（x）表达式，求导数g′（x），在定义域内解不等式g′（x）＞0，g′（x）＜0可得g（x）的单调区间，由单调性可得其最大值，同时得相应x值；
（2）f(x)+f(

1

x

)≥(x+

1

x

)ln(m2-2m-2)可化为(x+

1

x

)2-2-(x+

1

x

)≥(x+

1

x

)ln(m2-2m-2)，令x+

1

x

=t(t≥2)，由①分离出m后转化为求关于t的最小值，构造函数用导数可求其最小值，再解关于m的不等式即可；

解答：解（1）g（x）=lnx-（x²-x）（2x-1）=lnx-2x³+3x²-x，
g′(x)=

1

x

-6x2+6x-1=

(1-x)(6x2+1)

x

，(x＞0)，
当0＜x＜1时，g'（x）＞0；当x＞1时，g'（x）＜0，
∴g（x）在（0，1]上是增函数，在[1，+∞）上是减函数，
∴，当x=1时，g（x）取得最大值g（1）=0；
（2）f(x)+f(

1

x

)≥(x+

1

x

)ln(m2-2m-2)，即(x2-x+

1

x2

-

1

x

)≥(x+

1

x

)ln(m2-2m-2)，
可化为(x+

1

x

)2-2-(x+

1

x

)≥(x+

1

x

)ln(m2-2m-2)①，
∵x＞0，∴x+

1

x

≥2（当x=1时取到等号），
设x+

1

x

=t(t≥2)，①可化为t²-2-t≥tln（m²-2m-2），即ln(m2-2m-2)≤t-

2

t

-1当t≥2时恒成立，
令h（t）=t-

2

t

-1，则h′（t）=1+

2

t2

＞0，
∴h（t）在[2，+∞）上是增函数，∴h（t）≥h（2）=0，于是ln（m²-2m-2）≤0，
解不等式0＜m²-2m-2≤1，解得-1≤m＜1-

3

，1+

3

＜m≤3，
∴m的最大值为3．

点评：本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值及函数恒成立问题，转化为函数最值问题是解决恒成立问题的常用方法，要注意掌握．