Question

如图2-4-16,已知AB为⊙O的直径,P为AB延长线上一点,PT切⊙O于T,过点B的切线交AT延长线于D,交PT于C.

图2-4-16

(1)试判断△DCT的形状.

(2)△DCT有无可能成为正三角形?若无可能,说明为什么;若有可能,求出这时PB与PA应满足的条件.

Answer 1

思路分析:要判断△DCT的形状,先考虑其内角的关系,注意到CT、CB为切线,则连结BT,可用弦切角定理推论得∠ATB =∠BTD =90°,从而可判断△DCT的形状.

解:(1)连结BT,∵CB、CT为⊙O的切线,?

∴∠CTB =CBT.?

又AB为⊙O的直径,∴∠ATB =∠DTB =90°.?

∴∠DTC =90°-∠CTB,

∠D =90°-∠CBT.?

∴∠DTC =∠D,即CD =CT.?

∴△DCT为等腰三角形.?

(2)若△DCT为正三角形,则∠D =60°,?

由(1)知∠CBT=90°-∠D =30°,?

而CB切⊙O于B,?

∴∠A =∠CBT=30°.?

∴在Rt△ATB中, =sin30°=,?

且∠ABT=90°-30°=60°,∠ABT =∠CTB +∠P.?

而∠CTB =∠CBT =30°,?

∴∠P =30°.∴∠P =∠CTB.?

∴PB = TB.∴=,?

即当PB∶PA=1∶3时,△DCT为正三角形.