Question

在△ABC的AB边在平面α内，点C在平面α外，AC和BC与平面α所成的角分别为30°和45°且平面ABC与平面α成60⁰的锐二面角，则sin∠ACB=

1. A.
   1
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   1或

Answer 1

D
分析：从C向平面作垂线CD，连接AD，BD，作CE⊥AB，连接DE，根据三垂线定理，DE⊥AB，设CD=h，∠CBD=45°，BC=h，∠CAD=30°，AC=2CD=2h，∠CED是二面角的平面角，∠CED=60°，CE=，由勾股定理求出sinC=1；另一种是∠B是钝角，CE在三角形ABC之外，AB=AE-BE=，由余弦定理，求出sinC．
解答：解：从C向平面作垂线CD，连接AD，BD，作CE⊥AB，连接DE，
根据三垂线定理，DE⊥AB，设CD=h，∠CBD=45°，BC=h，∠CAD=30°，AC=2CD=2h，
∠CED是二面角的平面角，∠CED=60°，CE=，
根据勾股定理，AE=，BE=，AB=AE+BE=h，
∵（ h）²=（ h）²+（2h）²，即AB²=BC²+AC²，
∴∠C=90°，sinC=1，
另一种是∠B是钝角，CE在三角形ABC之外，AB=AE-BE=，
根据余弦定理，AB²=AC²+BC²-2AC×BC×cosC，
（ h）²=（2h）²+（ h）²-2×2h×hcosC，
cosC=，
sinC==，
故角ACB的正弦值是1或 ．
故选D．
点评：本题考查与二面角有关的立体几何的综合问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意勾股定理和余弦定理的灵活运用．