Question

已知F₁、F₂是双曲线4x²y²=1的左、右焦点,点P是曲线C上任意一点,且||+||=4.

(1)求曲线C的方程;

(2)过F₂作一直线l交曲线C于A、B两点,若 2=+,求△MF₂O面积最大时直线l的方程.

Answer 1

解:(1)双曲线4x²y²=1的左、右焦点分别是F₁(-1,0)、F₂(1,0).

由||+||=4＞2得曲线C是以F₁、F₂为焦点、长轴长为4的椭圆.

∴2c=2,2a=4.∴c=1,a=2,b=.

∴曲线C的方程为=1.

(2)由2=+可知点M是线段AB的中点,设其坐标为(x₀,y₀).

①若直线l的斜率不存在,则直线l的方程是x=1,此时,点M与F₂重合,不能构成三角形.②若直线的斜率存在,设为k,且k≠0,则直线l的方程是y=k(x-1).

联立方程组得

将(i)代入(ii),整理得(3+4k²)x²-8k²x+4(k²-3)=0.

设A(x₁,y₁),B（x₂,y₂）,由韦达定理可得x₁+x₂=,

∴x₀=(x₁+x₂)=.

又∵M在直线l上,∴y₀=k(x₀-1)=k(-1)=.

∴=×|OF₂|×|y₀|=×1×=.

∵+4|k|≥2|k|=43(当且仅当=4|k|,即k=±时,等号成立).

∴₂≤=.

此时直线方程为y=(x-1)或y=-(x-1),即x-2y-=0或x+2y-=0.