题目内容

在平面直角坐标系xOy中，过点A（-2，-1）椭圆 $数学公式$ 的左焦点为F，短轴端点为B₁、B₂， $数学公式$ ．
（1）求a、b的值；
（2）过点A的直线l与椭圆C的另一交点为Q，与y轴的交点为R．过原点O且平行于l．试求直线l的方程．

解：（1）由题意可得 F（-c，0）、B₁ （0，-b）、B₂（0，b），
∴ $\text{[math]}$ =（c，-b）、 $\text{[math]}$ =（c，b）．
∵ $\text{[math]}$ ∴c²-b²=2b² ①．
由于椭圆 $\text{[math]}$ 过点A（-2，-1），∴ $\text{[math]}$ ②．
由①②可解得 a=2 $\text{[math]}$ ，b= $\text{[math]}$ ．
（2）设直线l的方程为 y+1=k（x+2），由 $\text{[math]}$ 可得（x+2）[（4k²+1）（x+2）-（8k+4）]=0．
由于x+2≠0，∴x+2= $\text{[math]}$ ，即 x_Q+2= $\text{[math]}$ ．
由题意可得，OP的方程为y=kx，由 $\text{[math]}$ 可得（1+4k²）x²=8，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∵AO•AR=3OP²，∴|x_Q-（-2）|×|0-（-2）|=3 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ×2=3× $\text{[math]}$ ，
解得k=1，或 k=-2．
当k=1时，直线l的方程为 x-y+1=0．当k=-2时，直线l的方程为 2x+y+5=0．
分析：（1）先求出 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的坐标，根据 $\text{[math]}$ 以及椭圆 $\text{[math]}$ 过点A（-2，-1），列出方程组求得a、b的值．
（2）把直线l的方程和椭圆的方程联立方程组求得 x_Q+2= $\text{[math]}$ ．把OP的方程和椭圆的方程联立方程组求得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．根据AO•AR=3OP²，求得k的值，从而求得直线l的方程．
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，直线和圆锥曲线的关系，韦达定理的应用，属于中档题．