Question

已知函数f（x）=x（x-c）²（其中c为常数，c∈R）
（Ⅰ）若函数f（x）在定义域内有极值，求实数c的取值范围；
（Ⅱ）若函数f（x）在x=2处取得极大值，求实数c的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求函数的导数，利用导数和极值之间的关系求c的取值范围．
（Ⅱ）利用函数f（x）在x=2处取得极大值，求实数c的值．

解答：解：（Ⅰ）依题意得f'（x）=3x²-4cx+c²…（2分）
若f（x）有极值，则△=4c²＞0，∴c≠0…（5分）
（Ⅱ）f'（x）=3x²-4cx+c²=0得x=c或

c

3

，
因为函数f（x）在x=2处取得了极大值，故
x=2是f'（x）=0的一个实根，故c＞0
∴c＞

c

3

…（8分）
所以函数f（x）在(-∞，

c

3

)上递增，在(

c

3

，c)上递减，(c，+∞)上递增，
f（x）在x=

c

3

处取得极大值；                                  …（10分）
∴

c

3

=2⇒c=6…（12分）

点评：本题主要考查函数的极值和函数导数的应用，考查学生的运算能力．