Question

设函数f(x)=acos2(ωx)-

3

asin(ωx)cos(ωx)+b
的最小正周期为π（a≠0，ω＞0）
（1）求ω的值；
（2）若f（x）的定义域为[-

π

3

，

π

6

]，值域为[-1，5]，求a，b的值及单调区间．

Answer 1

分析：（1）先利用降幂公式和二倍角公式、辅助角公式对函数进行化简变形，由周期求出ω即可．
（2）由（1）f（x）=acos（2x+

π

3

），由x的范围，先求出2x+

π

3

的范围，结合余弦函数的图象用整体思想求出cos（2x+

π

3

）的范围，再由值域为[-1，5]，求a，b的值，进一步求单调区间即可．

解答：解：f（x）=

1

2

a[1+cos（2ωx）]-

3

2

asin（2ωx）+b=acos（2ωx+

π

3

）+

a

2

+b
（1）T=π=

2π

2ω

，ω=1
（2）由（1）f（x）=acos（2x+

π

3

）
∵x∈[-

π

3

，

π

6

]∴2x+

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]
∴cos（2x+

π

3

）∈[-

1

2

，1]
a＞0有a=4，b=-1
且f（x）增区间[-

π

3

，-

π

6

]，减区间为[-

π

6

，

π

6

]，
a＜0有a=-4，b=5
且f（x）增区间[-

π

6

，

π

6

]，减区间为[-

π

3

，-

π

6

]

点评：本题考查三角变换、三角函数性质：周期性、定义域、值域、及单调区间等知识，难度不大．