Question

已知y=log_a（2－ax）在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是（    ）

A.（0，1）  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   B.（1，2）　　

C.（0，2）　　 　　　　　　　　　　　　　　   D.［2，＋∞）

 

Answer 1

答案：B
提示：

解法一：先求函数的定义域，由2－ax＞0，有ax＜2，因为a是对数的底，故有a＞0，于是得函数的定义域x≤，又函数的递减区间［0，1］必须在函数的定义域内，故有1＜，从而a＜2. 若1＜a＜2，当x在［0，1］上增大时，2－ax减小，从而loga（2－ax）减小，即函数y=loga（2－ax）在［0，1］上是单调递减的； 若0＜a＜1，当x在［0，1］上增大时，2－ax减小，从而loga（2－ax）增大，即函数y=loga（2－ax）在［0，1］上是单调递增的. 所以a的取值范围应是（1，2），故选择B. 解法二：因a是对数函数的底数，故a＞0，且a≠1，排除C；当0≤x≤1时，真数2－ax＞0，取x=1，得a＜2，排除D.取a=时，函数y=log（2－），在区间［0，1］上，（2－）是x的减函数，故y是x的增函数，排除A，得B. 解法三：当a∈（0，1）时，若0≤x1＜x2≤1，则2－ax1＞2－ax2＞0，故loga（2－ax1）＜loga（2－ax2），即y=loga（2－ax）在［0，1］上是x的增函数，排除A、C.当a＞2时，函数y在x=1处无定义，排除D，得B. 解法四：取a=，x1=0，x2=1，则有loga（2－ax1）=log2，loga（2－ax2）=log，可排除A、C；取a=3，x=1，则2－ax=2－3＜0，又y在x=1处有意义，故a≠3，排除D，得B. 解法五：因为a是对数的底．故有a＞0，∴u=2－ax是减函数 又∵y=loga（2－ax）是减函数，由复合函数的增减性可知y=logau是增函数， ∴a＞1 又∵0≤x≤1，∴0≤ax≤a，0≥－ax≥－a，2≥2－ax≥2－a 又∵2－ax＞0，∴2－a＞0，∴a＜2，∴1＜a＜2． 解法六：因为a是对数的底数，故有a＞0，∴u=2－ax是减函数，又y=loga（2－ax）是减函数，由复合函数的增减性，可知y=logau是增函数，∴a＞1，又2－ax＞0，ax＜2， x∈［0，1］ 当x≠0时，a＜，而对x∈（0，1］中每一值不等式都成立，a只需要小于其最小值即可，故a＜2，∴1＜a＜2，∴u=2－ax是减函数，∴y=loga（2－ax）是减函数.