Question

【题目】已知椭圆： 过点， 为椭圆的半焦距，且，过点作两条互相垂直的直线， 与椭圆分别交于另两点， ．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线的斜率为，求的面积；

（3）若线段的中点在轴上，求直线的方程．

Answer 1

【答案】（1）;（2）2;（3）或．

【解析】试题分析：（1）根据条件列出的方程组，结合即可求得椭圆方程；（2）设方程为，整理方程组，由韦达定理求出点坐标，用用代替，得点坐标，把将代入，得， ， 的面积即可求出；（3）设， ，代入椭圆方程整理可得，其中，所以，分和两种情况，根据，求出的坐标，求得直线方程．

试题解析：（1）因为椭圆： ，过点，

为椭圆的半焦距，且，

所以，且，

所以，解得， ，

所以椭圆方程为．

（2）设方程为，

由整理得，

因为，解得，

当时，用代替，得，

将代入，得， ．

因为，所以， ，

所以的面积为．

（3）设， ，

则两式相减得，

因为线段的中点在轴上，

所以，从而可得，

若，则，

∵，所以，得．

又因为，所以解得，

所以， 或， ，

所以直线方程为．

若，则，

因为，所以，得，

又因为，所以解得或，

经检验： 满足条件， 不满足条件．

综上，直线的方程为或．