Question

【题目】已知函数．

（1）当时，讨论函数在区间上零点的个数；

（2）证明：当，时，．

Answer 1

【答案】（1）当时，有个公共点，当时，有个公共点，当时，有个公共点；（2）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）零点的个数就是对应方程根的个数,分离变量可得,构造函数,利用求出单调性可知在的最小值,根据原函数的单调性可讨论得零点个数；（2）构造函数,利用导数可判断的单调性和极值情况,可证明．

试题解析：

（1）当，时，函数零点的个数即方程根的个数．

由，令，

则在上单调递减，这时；

在上单调递增，这时．

所以是的极小值即最小值，即

所以函数在区间上零点的个数，讨论如下：

当时，有0个公共点；

当，有1个公共点；

当有2个公共点．

（2）证明：设，则，

令，则，

因为，所以，当时，；在上是减函数，

当时，，在上是增函数，

又，，

所以当时，恒有，即，所以在上为减函数，

所以，

即当时，．