Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a-b）cosC=c•cosB，c=7，a=8．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0求出cosC的值，即可确定出角C的度数；
（Ⅱ）由a，c，cosC的值，利用余弦定理求出b的值，再由a，b，sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：（Ⅰ）∵（2a-b）cosC=c•cosB，
∴（2sinA-sinB）cosC=sinAcosB，
即2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC，即2sinAcosC=sin（B+C），
∴2sinAcosC=sinA，
∵sinA≠0，∴cosC=

1

2

，
∵C为三角形内角，
∴C=

π

3

；
（Ⅱ）∵a=8，c=7，cosC=

1

2

，
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，即49=64+b²-2×8bcos60°，
整理得：b²-8b+15=0，
解得：b=3或b=5，
∴当b=5时，S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×8×5×

3

2

=10

3

；
当b=3时，或S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×8×3×

3

2

=6

3

．

点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．