Question

在数列{a_n}中，a₁=a，前n项和S_n构成公比为q的等比数列.

(1)求证：在{a_n}中，从第2项起开始成等比数列；

(2)当a=2⁵⁰,q=时，设b_n=log₂|a_n|，求|b₁|+|b₂|+…+|b_n|.

Answer 1

(1)证明：由已知S₁=a₁=a,S_n=a·q^n-1,

∴S_n-1=aq^n-2.

∴当n≥2时,S_n-S_n-1=a(q-1)q^n-2,即a_n=aq^n-2(q-1).

∴a_n+1=aq^n-1(q-1).∴=q.

∴当n≥2时，{a_n}是公比为q的等比数列.

(2)解析：a₂=S₂-S₁=a(q-1),

∴a_n=

∴当a=2⁵⁰,q=时，b₁=log₂|a|=50.n≥2时，b_n=log₂|a_n|=log₂|2⁵⁰（-1）（）^n-2|=51-n.

∴b_n=51-n(n∈N^*).

①当1≤n≤51时，|b₁|+|b₂|+…+|b_n|=(51-1)+(51-2)+(51-3)+…+(51-n)

=51n-(1+2+3+…+n)

=51n-=.

②当n≥52时，

|b₁|+|b₂|+…+|b_n|=(50+49+…+1)+［1+2+3+…+(n-51)］

=

=+2 550.