Question

已知函数f（x）=

x

x+1

，数列{a_n}满足：a_n＞0，a₁=1，a_n+1=f（a_n），n∈N⁺
（I ）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若bn=

2

an

+1，对任意正整数n，不等式

kn+1

(1+ 1 b1 )(1+ 1 b2 )(1+ 1 b3 )…(1+ 1 bn )

-

kn

2+bn

≤0恒成立，求正数k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据函数f（x）=

x

x+1

，a_n+1=f（a_n），可得

1

an+1

-

1

an

=1，从而数列{

1

an

}是以1为首项，1为公差的等差数列，由此可求数列{a_n}的通项公式；
（II）根据b_n=

2

an

+1，可得b_n=2n+1，分离参数可得k≤

1

2n+3

(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)…(1+

1

bn

)，再构造函数g(n)=

1

2n+3

(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)…(1+

1

bn

)，证明g（n）在n∈N^*上递增，求出g（n）的最小值，即可求得正数k的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由题意，∵函数f（x）=

x

x+1

，a_n+1=f（a_n）
∴a_n+1=

an

an+1

，
∴

1

an+1

-

1

an

=1
∵a₁=1，∴数列{

1

an

}是以1为首项，1为公差的等差数列．           
∴

1

an

=n，∴an=

1

n

（II）∵b_n=

2

an

+1，∴b_n=2n+1，
∴对任意正整数n，不等式

kn+1

(1+ 1 b1 )(1+ 1 b2 )(1+ 1 b3 )…(1+ 1 bn )

-

kn

2+bn

≤0恒成立等价于
k≤

1

2n+3

(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)…(1+

1

bn

)
记g(n)=

1

2n+3

(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)…(1+

1

bn

)
∴g(n+1)=

1

2n+3

(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)…(1+

1

bn+1

)
∴

g(n+1)

g(n)

=

2n+4

2n+5 × 2n+3

=

42+16n+16

4n2+16n+15

＞1
∴g（n+1）＞g（n），即g（n）在n∈N^*上递增，
∴g（n）_min=g（1）=

4 5

15

∴k∈（0，

4 5

15

]．

点评：本题主要考查了数列与不等式的综合，以及等差数列的判定和数列的函数特性，同时考查了计算能力和转化的数学思想，属于中档题．