题目内容
设函数f （x）=2cosx （cosx+
sinx）-1，x∈R．
（1）求f （x）的最小正周期T及单调递增区间；
（2）在△ABC中，C=90°，求f （A）的取值范围．
| 3 |
（1）求f （x）的最小正周期T及单调递增区间；
（2）在△ABC中，C=90°，求f （A）的取值范围．
分析：（1）将f （x）=2cosx （cosx+
sinx）-1化为f（x）=2sin（2x+
）即可求f （x）的最小正周期T及单调递增区间；
（2）由已知得A∈（0，
），f（A）=2sin（2A+
），求得2A+
的范围，利用正弦函数的单调性可求得f （A）的取值范围．
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| π |
| 6 |
（2）由已知得A∈（0，
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
解答：解：（1）∵f （x）=2cosx （cosx+
sinx）-1
=2cos2x+2
sinxcosx-1
=cos2x+
sin2x…3′
=2sin（2x+
）
∴T=
=π，…4′
由2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
，k∈Z，
得kπ-
≤x≤kπ+
，k∈Z，…7′
（2）由已知得A∈（0，
），
f（A）=2sin（2A+
），
∴
＜2A+
＜
，…9′
故-1＜f（A）≤2，
∴f（A）≤∈（-1，2]…12
| 3 |
=2cos2x+2
| 3 |
=cos2x+
| 3 |
=2sin（2x+
| π |
| 6 |
∴T=
| 2π |
| 2 |
由2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
得kπ-
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
（2）由已知得A∈（0，
| π |
| 2 |
f（A）=2sin（2A+
| π |
| 6 |
∴
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 7π |
| 6 |
故-1＜f（A）≤2，
∴f（A）≤∈（-1，2]…12
点评：本题考查三角函数的化简求值，着重考查二倍角公式与辅助角公式的应用，考查正弦函数的单调性，属于三角函数的综合应用，属于中档题．
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