Question

已知=(2,0),O为坐标原点，点M满足|+|+|-|=6.

（1）求点M的轨迹C的方程.

（2）是否存在直线l过点B（0，2），与轨迹C交于P、Q两点，且以PQ为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解析：(1)设点M（x，y），

∵|+|+|-|=6，

∴=6.

即M到（-2，0）,（2,0）的两点距离之和为6,故点M轨迹为椭圆,其方程为+y²=1.

(2)假设存在直线y=kx+2,(当k不存在时,显然不合条件)代入x²+9y²=9中,有(9k²+1)x²+36kx+27=0.设P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),则=0，即x₁x₂+y₁y₂=0,x₁x₂+(kx₁+2)(kx₂+2)

=0(k²+1)x₁x₂+2k(x₁+x₂)+4=0.又x₁+x₂=,x₁x₂=代入上式，解得k=±.此时Δ=(36k)²-4(9k²+1)×27＞0，故存在直线y=±x+2.