Question

19．在△ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c，且有bcosC+ccosB=2acosB．
（1）求B的大小；
（2）若△ABC的面积是$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，且a+c=5，求b．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理得：sinA=2sinAcosB，又0＜A＜π．可求cosB=$\frac{1}{2}$，结合范围0＜B＜π，即可求B的值．
（2）由三角形面积公式可求ac=3，又a+c=5，利用余弦定理及平方和公式即可求b的值．

解答 解：（1）由bcosC+ccosB=2acosB，及正弦定理得：sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，
即sin（B+C）=2sinAcosB，
又A+B+C=π，所以sin（B+C）=sinA，
从而sinA=2sinAcosB，又0＜A＜π．
故cosB=$\frac{1}{2}$，又0＜B＜π，所以B=$\frac{π}{3}$．
（2）又S=$\frac{1}{2}$acsin$\frac{π}{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
所以ac=3，又a+c=5，
从而b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-3ac=25-9=16，故b=4．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．